线性代数

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线性代数复习笔记

线性代数复习笔记

线性代数里用$\operatorname{R}(A)$代表秩，而矩阵分析里用$\operatorname{rank}(A)$代表秩，$\operatorname{R}(A)$代表列空间

1.3.1 Definition: 余子式与代数余子式

在$n$阶行列式$D$中，划掉元素$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列后，留下的元素按照原来的顺序组成的$n-1$阶行列式称为元素$a_{ij}$的余子式，记为$M_{ij}$。称

\[A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]
为元素的代数余子式。

1.3.1 Theorem: 行列式展开定理

$n$阶行列式$D = \left|a_{ij}\right|_n$等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

\[D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \quad (i = 1, 2, \cdots, n)\]
或

\[D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \quad (j = 1, 2, \cdots, n)\]

2.3.2 Definition: 伴随矩阵

设$A = \left(a_{ij}\right)_{n \times n}$，$A_{ij}$为行列式$|A|$中元素$a_{ij}$的代数余子式，称

\[A^* = \left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{array}\right)\]
为矩阵$A$的伴随矩阵。

2.5.1 Definition: 初等行（列）变换

矩阵$A$的下列变换称为它的初等行（或列）变换：
① 互换矩阵$A$的第$i$行与第$j$行（或第$i$列与第$j$列）的位置，记为$r_i \leftrightarrow r_j$（或$c_i \leftrightarrow c_j$）；
② 用常数$k \neq 0$去乘以矩阵$A$的第$i$行（或第$j$列），记为$k r_i$（或$k c_j$）；
③ 将矩阵$A$的第$j$行（或第$j$列）各元素的$k$倍加到第$i$行（或第$i$列）的对应元素上去，记为$r_i + k r_j$（或$c_i + k c_j$）。

2.5.4 Definition: 初等矩阵

由单位矩阵$E$经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

2.5.3 Theorem: 初等变换与初等矩阵

设$A$是一个$m \times n$阶矩阵，对$A$作一次初等行变换，相当于在$A$的左边乘以相应的$m$阶初等矩阵；对$A$作一次初等列变换，相当于在$A$的右边乘以相应的$n$阶初等矩阵。

2.5.4 Theorem: 矩阵等价

$m \times n$阶矩阵$A$与$B$等价 $\Leftrightarrow$ 存在$m$阶初等矩阵$P_1, P_2, \cdots, P_s$与$n$阶初等矩阵$Q_1, Q_2, \cdots, Q_t$，使得

\[P_s \cdots P_2 P_1 A Q_1 Q_2 \cdots Q_t = B\]

2.6.2 Definition: 矩阵的秩

若在$m \times n$阶矩阵$A$中，有一个$r$阶子式不为零，而所有的$r+1$阶子式（若存在）的话都为零，则称$r$为矩阵$A$的秩，记为$R(A) = r$。

2.6.2 Theorem: 初等变换与矩阵秩

初等变换不改变矩阵的秩。

2.6.2 Corollary: 矩阵秩与可逆矩阵乘积

设$A$为$m \times n$阶矩阵，$P$和$Q$分别为$m$阶与$n$阶可逆矩阵，则

\[R(A) = R(PA) = R(AQ) = R(PAQ)\]

2.6.5 Example: 矩阵乘积的秩

设$A$，$B$分别为$m \times n$阶和$n \times s$阶矩阵，证明：
① $R(AB) \leq \min\{R(A), R(B)\}$；
② $R(A) + R(B) - n \leq R(AB)$。

Proof:

① 设$R(A) = r$，则存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$，使得

\[PAQ = \left(\begin{array}{cc} E_r & O \\ O & O \end{array}\right)\]

于是

\[A = P^{-1} \left(\begin{array}{cc} E_r & O \\ O & O \end{array}\right) Q^{-1}\]

所以

\[AB = P^{-1} \left(\begin{array}{cc} E_r & O \\ O & O \end{array}\right) Q^{-1} B = P^{-1} \left(\begin{array}{c} C_1 \\ O \end{array}\right)\]

其中$Q^{-1}B$被分成$r \times k$阶矩阵$C_1$与$(n-r) \times k$阶矩阵$C_2$。因此，

\[R(AB) = R\left(\begin{array}{c} C_1 \\ O \end{array}\right) \leq r = R(A)\]

同理，$R(AB) \leq R(B)$。因此，$R(AB) \leq \min\{R(A), R(B)\}$。
②
构造分块矩阵

\[\left(\begin{array}{cc} A & 0 \\ C & B \end{array}\right)\]

对其作初等变换，得到

\[\left(\begin{array}{cc} E_r & 0 \\ C' & AB \end{array}\right)\]

其中$E_r$是$r \times r$阶单位矩阵，$C'$是$r \times (n-r)$阶矩阵。
由例2.6.3可知

\[n + R(AB) = R\left(\begin{array}{c} E_r \\ C' \end{array}\right) + R(AB) = R(C)\]

容易看出，矩阵$C$中至少有一个$R(A) + R(B)$阶子式不为零，所以$R(C) \geq R(A) + R(B)$。于是

\[R(A) + R(B) - n \leq R(AB)\]

2.6.5 Theorem: 多矩阵乘积秩关系

对于$n$阶矩阵$A_1, A_2, \cdots, A_m$，有$R(A_1) + \cdots + R(A_m) - R(A_1 \cdots A_m) \leq (m-1)n$

Proof:

用数学归纳法证明。
当$m=2$时，由例2.6.5可知不等式成立。
假设当$m=k$时不等式成立，即

\[R(A_1) + R(A_2) + \cdots + R(A_k) - R(A_1A_2\cdots A_k) \leq (k-1)n\]

现在考虑$m=k+1$的情况，即

\[R = R(A_1) + R(A_2) + \cdots + R(A_k) + R(A_{k+1}) - R(A_1A_2\cdots A_kA_{k+1})\]

由例2.6.5可知

\[R(A_1A_2\cdots A_kA_{k+1}) \geq R(A_1A_2\cdots A_k) + R(A_{k+1}) - n\]

代入前式得

\[R \leq \boxed{R(A_1) + R(A_2) + \cdots + R(A_k)} + R(A_{k+1}) - R(A_1A_2\cdots A_k) - R(A_{k+1}) + n\]

利用归纳条件可得：

\[R(A_1) + R(A_2) + \cdots + R(A_{k+1}) - R(A_1A_2\cdots A_{k+1}) \leq kn\]

由数学归纳法原理，不等式对任意正整数$m$成立。证毕。

2.6.5 Corollary: 矩阵秩乘积

若$A_1A_2\cdots A_m = 0$，则有$R(A_1) + R(A_2) + \cdots + R(A_n) \leq (m-1)n$。

4.2.2 Theorem: 齐次线性方程组的解

设$A$为齐次线性方程组(4.2.6)的系数矩阵，那么：
① 如果$R(A) = n$，则齐次线性方程组只有唯一零解。
② 如果$R(A) = r < n$，则齐次线性方程组除零解外，还有无穷多个非零解。特别地，当方程的个数小于未知量个数，即$m < n$时，齐次线性方程组必有无穷多个非零解。

4.3.2 Theorem: 非齐次线性方程组的通解

设非齐次线性方程组$AX = b$满足$R(A) = R(\bar{A}) = r < n$，$X_0$是它的一个解向量，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-r}$是它的导出组$AX = 0$的一个基础解系，则方程组$AX = b$的通解可表示为

\[X = X_0 + k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_{n-r}\alpha_{n-r}\]

其中，$k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$为任意常数。