P 是一个数域, P中的二次齐次多项式称为二次型. 一般写作 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$, 其中 $a_{ij} \in P$.
若设A为一矩阵 $x = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$, 则有 $f(x) = x^TAx$, 其中 $A = (a_{ij})_{n \times n}$.
为了使得矩阵变得简单, 考虑矩阵的合同.
$A, B$ 为数域$P$上的两个矩阵, 若存在非奇异矩阵 $P$, 使得 $B = P^TAP$, 则称 $A, B$ 合同.
若 $f(x) = \sum_{i=1}^{n}a_{ii}x_i^2$, 则称 $f(x)$ 为标准二次型.
{注}: 对于n阶实对称矩阵, 其一定可以合同对角化, 即存在正交矩阵$Q$, 使得 $Q^TAQ = \Lambda$, 其中 $\Lambda$ 为对角矩阵. 这里的Q是由特征向量组成的矩阵.
若对于任意非零向量 $x$, 都有 $x^TAx > 0$, 则称 $f(x)$ 为正定二次型.
设$A$ 为实对称矩阵, 满足下列条件之一的为正定矩阵:
- \(A\) 的所有特征值 \(\lambda_i\) 均为正的。
- 对所有非零向量 \(x\)，有 \(x^T A x > 0\) 成立。
- \(A\) 的所有顺序主子式都是正的。
- \(A\) 的所有主元（无行交换）都是正的。
- 存在列满秩矩阵 \(R\)，使得 \(A = R^T R\)。
- \(A\) 的所有主子式都是正的。