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第二章 线性映射

2.1.2 Definition: 单射,满射,双射

设$V$和$W$是两个非空集合，$f$是$V$到$W$的一个映射。若对任意$x_1, x_2 \in V$，当$x_1 \neq x_2$时有$f(x_1) \neq f(x_2)$，则称$f$是$V$到$W$的单映射（简称单射）；若对任意$y \in W$都有一个元素$x \in V$使得$f(x) = y$（即$R(f) = W$），则称$f$是$V$到$W$的满映射（简称满射）；若映射$f$既是单映射又是满映射，则称$f$是$V$到$W$的一一映射或双映射（简称双射）。

2.1.4 Definition: 映射积

设$V_1, V_2$和$V_3$是三个非空集合，并设$f_1$是$V_1$到$V_2$的一个映射，$f_2$是$V_2$到$V_3$的一个映射。由$f_1$和$f_2$确定的$V_1$到$V_3$的映射$f: x \rightarrow f(f_1(x)), x \in V_1$，称为映射$f_1$和$f_2$的乘积，记为$f_3 = f_2 \cdot f_1$，或简写为$f = f_2 f_1$。

2.1.5 Definition: 逆映射

设有映射$f_1: V \rightarrow W$，若存在映射$f_2: W \rightarrow V$使得$f_2 \cdot f_1 = I_V$和$f_1 \cdot f_2 = I_W$，其中$I_V: x \rightarrow x, x \in V$为$V$上的恒等映射，$I_W$是$W$上的恒等映射。我们称$f_2$为$f_1$的逆映射，记为$f_1'$。若映射$f_1$有逆映射，则称$f_1$为可逆映射。

2.2.1 Definition: 线性映射

设 $V$ 和 $W$ 是数域 $F$ 上的线性空间，如果映射 $T: V \to W$ 满足下述性质：
(1) 可加性：对任意 $x, y \in V, T(x + y) = T(x) + T(y)$;
(2) 齐次性：对任意 $x \in V, \lambda \in F, T(\lambda x) = \lambda T(x)$;
则称 $T$ 为 $V$ 到 $W$ 上的线性映射。特别地，当 $V = W$ 时，映射 $T: V \to V$ 称为 $V$ 上的线性变换（或线性算子）。

2.2.5 Example: 正交投影变换

设向量组 $\alpha_1,\cdots,\alpha_p$ 是 $W$ 的一组标准正交基，则 $V$ 中任一向量 $x$ 在 $W$ 上的正交投影为

\[\text{ Proj}_{w} x=\left(x,\alpha_1\right)\alpha_1+\cdots+\left(x,\alpha_p\right)\alpha_p\]

因此，

\[T(x)=\sum_{i=1}^p\left(x,\alpha_i\right)\alpha_i\]

那么，对任意向量 $x, y\in V$ 和 $\lambda,\mu\in F$ 有

\[\begin{align*} T(\lambda x+\mu y)&=\sum_{i=1}^p\left(\lambda x+\mu y,\alpha_i\right)\alpha_i\\ &=\lambda\sum_{i=1}^p\left(x,\alpha_i\right)\alpha_i+\mu\sum_{i=1}^p\left(y,\alpha_i\right)\alpha_i\\ &=\lambda T(x)+\mu T(y)\end{align*}\]

综上可知，映射 $T$ 是 $V$ 上的线性变换。

2.2.1 Corollary: 线性映射性质

设 $V$ 和 $W$ 是数域 $F$ 上的线性空间，$T: V \to W$ 是线性映射, 若$\alpha _1, \cdots, \alpha _n$
(1) $T(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i \alpha_i) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i T(\alpha_i)$;
(2) $T(0) = 0$;
(3) $T(-\alpha) = -T(\alpha)$, $\forall \alpha \in V$;
(4) 若 $\alpha _1, \cdots, \alpha _n$ 线性相关，则 $T(\alpha _1), \cdots, T(\alpha _n )$ 也线性相关;
(5) 若$T(\alpha _1), \cdots, T(\alpha _n )$ 线性无关，则 $\alpha _1, \cdots, \alpha _n$也线性无关。

2.2.2 Theorem: 无关向量的映射

设 $T: V \to W$ 是线性映射, 当且仅当$T$是单射时，$T$将线性无关的向量映为线性无关的向量.
{注}: $\dim {V} \le \dim {W}$

2.2.2 Definition: 线性映射的加法和数乘

设 $V$ 和 $W$ 是数域 $F$ 上的线性空间，$T: V \to W$ 是线性映射，定义 $T$ 的加法和数乘如下：
(1) $T_1 + T_2: V \to W, (T_1 + T_2)(x) = T_1(x) + T_2(x)$;
(2) $\lambda T: V \to W, (\lambda T)(x) = \lambda T(x)$。
则 $T_1 + T_2$ 和 $\lambda T$ 仍然是 $V$ 到 $W$ 上的线性映射。

{注}: 线性空间$\mathcal{L}(V,W)$的维数为$\dim \mathcal{L}(V,W) = \dim V \cdot \dim W$。

2.2.3 Theorem: 线性映射设空间

集合$\mathcal{L}(V, W)$对定义2.2.2的加法和定义2.2.3的数乘构成数域$F$上的线性空间，称为线性映射空间。特别地，$\mathcal{L}(V)$称为线性变换空间。

2.2.4 Theorem: 线性映射值空间和零空间

设$T \in \mathcal{L}(V, W)$，定义

$$\begin{array}{ll} N(T) = \{x \in V \mid T(x) = \theta\}\\ R(T) = \{y \in W \mid y = T(x), \forall x \in V\} \end{array}$$

则$N(T)$是$V$的子空间，$R(T)$是$W$的子空间。我们称$N(T)$是线性映射$T$的核空间（或零空间），$R(T)$是线性映射$T$的像空间（或值空间）；并称$\operatorname{dim} N(T)$为线性映射$T$的零度（或亏），$\operatorname{dim} R(T)$为线性映射$T$的秩。

2.2.5 Theorem: 亏秩定理

设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$, 则 $\dim N(T) + \dim R(T) = \dim V$.

2.3.1 Definition: 矩阵

设$T$是$V$到$W$上的线性映射, $\epsilon _1, \cdots, \epsilon _n$ 和 $\eta _1, \cdots, \eta _m$ 分别是 $V$ 和 $W$ 的基.
设$T(\epsilon _1, \cdots, \epsilon _n) = [T(\epsilon _1), \cdots , T(\epsilon _n)] = [\eta _1, \cdots, \eta _n ]A$, $A \in F^{m \times n}$, 则称$A$是$T$在基$\epsilon _1, \cdots, \epsilon _n$和$\eta _1, \cdots, \eta _m$下的矩阵.

{注}:

1. 基不一定为列向量,可以为矩阵或多项式
2. $A$与$T$一一对应(在基确定的情况下)
3. 当$V = W$时, $A$称为线性变换$T$的矩阵
4. 矩阵是线性映射在某组基下的表达(或坐标的线性变换)

2.3.1 Theorem: 矩阵与线性映射关系

设$V$和$W$是数域$F$上的线性空间，取定$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$和$\eta_1, \cdots, \eta_m$分别是$V$和$W$的一组基。任取$A = (a_{ij}) \in F^{m \times n}$，则有且仅有一个线性映射$T \in \mathcal{L}(V, W)$使其在$V$的基$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$和$W$的基$\eta_1, \cdots, \eta_m$下的矩阵恰为$A$。

{注}:

1. 给定一组基的情况下, 线性映射与矩阵一一对应
2. 类似于向量与坐标之间的关系
3. 在同一个变换下, 矩阵可以描述基变换

2.3.* Theorem: 线性映射和矩阵的关系

定理2.3.1表明线性映射$T \in \mathcal{L}(V, W)$和$A = (a_{ij}) \in F^{m \times n}$存在着一一对应的关系，即存在着双射$f: \mathcal{L}(V, W) \rightarrow F^{m \times n}$满足$f(T) = A$。

2.3.2 Definition: 同构

设$V$和$W$是数域$F$上的线性空间，若存在双射$f: V \rightarrow W$满足
$(1) f(x + y) = f(x) + f(y);$
$(2) f(\lambda x) = \lambda f(x).$
其中：$x$和$y$是$V$中任意向量，$\lambda$是数域$F$的任意数，则称$f$是$V$到$W$的同构映射，并称线性空间$V$与$W$同构。

2.3.2 Theorem: 线性映射和矩阵同构

设$V$和$W$是数域$F$上的线性空间，它们的维数分别为$n$和$m$，则线性映射空间$\mathcal{L}(V, W)$和矩阵空间$F^{m \times n}$同构。

2.3 Proposition: 同构映射的性质

设 $V$ 和 $W$ 是数域 $F$ 上的线性空间，$T: V \to W$ 是同构映射，则有

1. $T(0) = 0', 0 \in V, 0' \in W$
2. $T(-x) = -T(x)$, 对于所有 $x \in V$
3. $T\left(\sum \alpha_i x_i\right) = \sum \alpha_i T(x_i)$, 对于所有 $\alpha_i \in F$ 和 $x_i \in V$
4. V中的向量组 $x_1, \cdots, x_r$ 线性相关，当且仅当其像 $T(x_1), \cdots, T(x_r)$ 线性相关
5. 若 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ 是 V 的一组基，则 $T(\varepsilon_1), \cdots, T(\varepsilon_n)$ 是 W 的一组基
6. T的逆映射 $T^{-1}: W \rightarrow V$ 存在且是同构映射

2.3.3 Theorem: 线性空间同构

线性空间同构当仅当它们的维数相等。

2.3.1 Corollary: 实空间的同构

任一实(复) n维线性空间均与 $\mathbb{R}^n(\mathbb{C}^n)$ 同构。

2.3.2 Corollary: 线性映射的维数

设 $V$ 和 $W$ 是数域 $F$ 上的线性空间, 它们维数分别为 $n$ 和 $m$, 则 $\operatorname{dim}(L(V, W))=\operatorname{dim}(F^m \times F^n)=mn$。

2.3.3 Corollary: 线性映射的同构

设 $V$ 是数域 $\mathbb{R}$ (或 $\mathbb{C}$) 上的 n维线性空间, 则线性变换空间 $L(V)$ 与 $\mathbb{R}^{n^2}$ (或 $\mathbb{C}^{n^2}$) 同构。

2.3.4 Theorem: 坐标变换

设$V$和$W$是数域$F$上的线性空间，$T: V \to W$是线性映射，$\epsilon _1, \cdots, \epsilon _n$和$\eta _1, \cdots, \eta _m$分别是$V$和$W$的基，$A$是$T$在这两组基下的矩阵，$x \in V$的坐标为$\alpha$，$T(x)$在基$\eta _1, \cdots, \eta _m$下的坐标为$\beta$，则有$\beta = A\alpha$.

下面这张图很好的解释了线性映射与矩阵的关系:

{注}:

1. 矩阵作用在向量坐标上等效于线性映射作用在原向量上.
2. 在此可以抽象的把所有线性映射看作矩阵的乘法, 我们可以人为的规定不同的基, 从而全部规约到矩阵与向量的乘法, 所以在此之后只讨论矩阵与向量的乘法.
3. 对于线性映射空间的一切性质都转换为对矩阵的研究.
4. $m \times n$阶矩阵与n维向量的乘法操作代表了某个n维线性空间中的向量正在经历线性变换。任何n维线性空间内的线性运算都可以等价为在$\mathbb{R}^n$（或$\mathbb{C}^n$）空间中的向量线性运算，因为n维线性空间与$\mathbb{R}^n$或$\mathbb{C}^n$是同构的。两个线性空间之间定义的线性映射可以等价为在$\mathbb{R}^{n \times n}$（或$\mathbb{C}^{n \times n}$）中的矩阵与$\mathbb{R}^n$（或$\mathbb{C}^n$）空间的向量进行乘法运算，即线性映射空间与其对应的矩阵空间是同构的。基于上述等价关系，我们可以将同构线性空间视为同一个线性空间。

2.3.5 Theorem: 基变换对线性映射对应矩阵的影响

设$V$和$W$是数域$F$上的$n$维和$m$维线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$和$\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m$是$V$的两组基，由$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$到$\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m$的过渡矩阵为$Q$；$\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_m$和$\delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_m$是$W$的两组基，由$\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_m$到$\delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_m$的过渡矩阵为$P$；设线性映射$T \in L(V, W)$在$V$的基$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$和$W$的基$\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_m$下的矩阵为$A$，$T$在$V$的基$\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n$和$W$的基$\delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_m$下的矩阵为$B$，则$B = P^{-1}APQ$

2.3.4 Corollary: 基变换对线性变换对应矩阵的影响

设$V$是数域$F$上的$n$维线性空间，$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$和$\varepsilon_1', \cdots, \varepsilon_n'$是$V$的两组基，由$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$到$\varepsilon_1', \cdots, \varepsilon_n'$的过渡矩阵为$P$，线性变换$T \in \mathcal{L}(V)$在基$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$和基$\varepsilon_1', \cdots, \varepsilon_n'$下的矩阵分别为$A$和$B$，则$B = P^{-1}AP$

2.3.6 Theorem: 线性映射的维数性质

设$V$和$W$是数域$F$上的$n$维和$m$维线性空间，若$T \in \mathcal{L}(V, W)$在$V$的基$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$和$W$的基$\eta_1, \cdots, \eta_m$下的矩阵为$A$，则:
(1) $\operatorname{dim} N(T) = \operatorname{dim} N(A)$
(2) $\operatorname{dim} R(T) = \operatorname{dim} R(A) = \operatorname{rank}(A)$;
(3) $\operatorname{dim} N(A) + \operatorname{dim} R(A) = n$（秩-零度定理）

2.3.6 Example

考察齐次线性差分方程

\[u_{k+n} + a_{n-1} u_{k+n-1} + \cdots + a_1 u_{k+1} + a_0 u_k = 0\]

\(k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots\)。方程的解集 \(\widetilde{S}\) 是 \(S\) 的一个线性子空间。若定义

\[x_k = \left[\begin{array}{c} u_k \\ u_{k+1} \\ \vdots \\ u_{k+n-1} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^n, \quad A = \left[\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ -a_0 & -a_1 & a_2 &...& -a_{n-1}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{n \times n}\]

则上式可改写为

\[x_{k+1} = A x_k, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots\]

由该式易验证，当 \(x_0\) 给定，序列 \(\{ u_k \}\) 唯一确定。因此，定义映射 \(T: \widetilde{S} \rightarrow \mathbb{R}^n\) 满足

\[T\left( \left\{ u_k \right\} \right) = x_0\]

易证 \(T\) 是同构映射。因此，\(\operatorname{dim}(\widetilde{S}) = \operatorname{dim}(\mathbb{R}^n) = n\)，即 \(\widetilde{S}\) 是 \(S\) 的一个 \(n\) 维线性子空间.

2.4.1 Theorem: 线性变换特征值特征向量

设线性变换$T \in L(V)$,若存在 $\lambda_{0} \in F$ 及$V$的非零向量$\xi$ 使得 $T(\xi) = \lambda_0 \xi$, 则称 $\lambda_0$ 是 $T$的一个特征值,称 $\xi$ 为 $T$的属于特征值 $\lambda_0$ 的一个特征向量

{注}: 特征向量一定为非零向量, 特征值可以为0.

2.4.1 Example: 特征向量空间

$T$的特征值$\lambda$的所有特征向量组成的集合是线性空间吗?
显然不是, 因为零向量不是特征向量.

{注}: 设$T \in L(V)$，$\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$是$V$的一组基，且$T(v_i) = \lambda_i v_i$（$i = 1, 2, \ldots, n$），则$T$在基$\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$下的矩阵为对角阵。

2.4.2 Definition: 矩阵的特征值和特征向量

设 $A\in F^{n\times n},\lambda$ 为一标量，矩阵 $\lambda I-A$ 称为$A$的特征矩阵，其行列式 $|\lambda I-A|$ 称为$A$的特征多项式，方程 $|\lambda I-A|=0$ 的根称为$A$的特征值（或特征根）。方程 $(\lambda I-A)\alpha=0$ 的非零解向量$\alpha$称为属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

{注}:
$\lambda$ 不一定为实数.

2.4.* Theorem: 线性变换特征值和矩阵特征值关系

$\lambda$是线性变换$T$的特征值当且仅当$\lambda$是$A$的特征值; 向量$\alpha$是线性变换$T$的特征向量当且仅当$\alpha$是$A$的特征向量，其中$A$是$T$在线性空间$V$的基$\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$下的矩阵表示, $\alpha$和$\beta$分别是向量$\alpha$在基$\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$下的坐标向量.

{注}:矩阵 $A \in F^{n \times n}$不一定有$n$个特征值, 依赖于 $V$所在的数域 $F$.

2.4.1 Theorem: 矩阵的迹与特征值

设 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 是矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)\in C^{n\times n}$ 的特征值，则有：

$$\prod_{i=1}^n\lambda_i=|A|, \sum_{i=1}^n\lambda_i=\sum_{i=1}^n a_{i i}=\operatorname{tr}(A)$$

Lemma: 维达定理

设 $P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是一个一元 n 次实（或复）系数多项式，首项系数 $a_{n}\neq 0$，令 P 的 n 个根为 $x_{1}, x_{2},\ldots, x_{n}$，则根 $\left\{x_{i}\right\}$ 和系数 $\left\{a_{j}\right\}$ 之间满足关系式：

2.4.4 Example: 特征值的性质

设 $\lambda$ 是可逆复方阵 $A$ 的特征值, 试证明:
(1)$\lambda^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值;
(2)$\lambda^{-1}A^{-1}$ 是 $A^*$ 的特征值.

2.4.4 Supplement: 伴随矩阵

设 $A \in F^{n \times n}$, 称矩阵 $A^* = \left( A_{i j} \right) \in F^{n \times n}$ 为 $A$ 的伴随矩阵, 其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 的代数余子式, 即 $A_{i j} = (-1)^{i+j} M_{i j}$, 其中 $M_{i j}$ 是 $A$ 的子式, $M_{i j}$ 是 $A$ 去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的 $n-1$ 阶子式的行列式.

性质:

1. $A A^* = A^* A = |A|I$
2. $\operatorname{rank}\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{l}n,\operatorname{rank}(A)=n\\ 1,\operatorname{rank}(A)=n-1\\ 0,\operatorname{rank}(A)\leq n-2\end{array}\right.$

2.4.3 Definition: 特征子空间

设 \(\lambda\) 是矩阵 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\) 的一个特征值, 定义集合 \(E_{\lambda} = \{x \in \mathbb{C}^n | Ax = \lambda x\}\)。则 \(E_{\lambda}\) 是 \(\mathbb{C}^n\) 的线性子空间, 称为属于特征值 \(\lambda\) 的特征子空间, \(\dim(E_{\lambda})\) 为特征值 \(\lambda\) 的几何重数.

{注}:

1. $E(\lambda )$ 中需要包括零向量.
2. $\dim(E(\lambda )) = n - \operatorname{rank}(A-\lambda I)$
3. 一元 $n$次多项式在复数域内一定有 $n$ 个根, 其中$\lambda _i$ 为特征方程的重数, 称为代数重数.

2.4.2 Theorem: 特征值几何重数定理

复方阵的任一特征值的几何重数不超过它的代数重数.

2.4.1 Proposition: 相似矩阵的性质

若\(n\)阶方阵\(A\)与\(B\)相似, 即存在可逆矩阵 $P$, 使得$P^{-1}BP=A$ 则：
(1) \(A\)与\(B\)有相同的特征多项式与特征值；
(2) \(A\)与\(B\)有相同的秩与行列式；
(3) \(A\)与\(B\)有相同的迹。

{注}:

1. 线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关，它直接由线性变换决定，故可称之为线性变换的特征多项式.
2. 显然相似矩阵的特征向量可以不同.

2.4.3 Theorem: 特征向量的线性无关性

矩阵\(A\)的属于不同特征值的特征向量线性无关。

2.5.1 Definition: 正交变换和酉变换

若欧氏（酉）空间中的线性变换\(T\)保持向量的内积不变，即对\(V\)的任意向量\(x\)与\(y\)有

\[(T(x), T(y)) = (x, y)\]

则称\(T\)为正交（酉）变换。

2.5.2 Definition: 正交矩阵和酉矩阵

若\(n\)阶实方阵\(A\)满足\(A^T A = I\)或\(A A^T = I\)，则称\(A\)为正交矩阵；若\(n\)阶复方阵\(A\)满足\(A^H A = I\)或\(A A^H = I\)，则称\(A\)为酉矩阵。

2.5.1 Theorem: 正交(酉)变换的性质

设\(V\)是\(n\)维欧氏（酉）空间，\(T \in L(V)\)，则以下命题等价：
(1) \(T\)是正交（酉）变换；
(2) \(T\)保持长度不变，即\(\|T(x)\| = \|x\|\)；
(3) 若\(\xi_1, \cdots, \xi_n\)是\(V\)中一组标准正交基，则\(T(\xi_1), \cdots, T(\xi_n)\)也是\(V\)中一组标准正交基；
(4) \(T\)在\(V\)的任一标准正交基下的矩阵\(A\)为正交（酉）矩阵。

{注}: 正交矩阵 $A$ 的特征值不一定为$\pm1$, 有可能是复数.

2.5.1 Proposition: 正交（酉）矩阵性质

(1) 正交矩阵的行列式必为 $\pm 1$，酉矩阵的行列式的模值为 $1$。
(2) $A^{-1} = A^H$ 均为正交（酉）矩阵。
(3) 正交（酉）矩阵的乘积仍为正交（酉）矩阵。
(4) $A$ 的所有特征值的模值为 $1$。

2.5.2 Theorem: 正交（酉）矩阵条件

矩阵\(A\)是\(n\)阶正交（酉）矩阵当且仅当矩阵\(A\)的\(n\)个列（行）向量构成\(n\)维欧氏（酉）空间的一组标准正交基。

2.5.2 Proposition: Givens矩阵的性质

其中：\(t_{ii}(i, j) = t_{jj}(i, j) = \cos\varphi,\) \(t_{ij}(i, j) = \sin\varphi,\), \(t_{ji}(i, j) = -\sin\varphi\). 对于 \(k \neq i, j\), \(t_{kk}(i, j) = 1\)，并且对于任意 \(k \neq i, j\) 和 \(l \neq i, j\), \(t_{kl}(i, j) = 0\)。 矩阵 \(T(i, j)\) 被称为Givens矩阵(或初等旋转矩阵)。

设Givens矩阵\(T(i, j) \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，则以下命题成立：
(1) \(T(i, j)\)是正交矩阵且\((T(i, j))^{-1} = (T(i, j))^{\top}\).
(2) 设\(x = \left[x_1, \cdots, x_n\right]^{\top}\)，若\(y = T(i, j)x = \left[y_1, \cdots, y_n\right]^{\top}\)，则

\[y_k = x_k, \quad k \neq i, j\]

\[y_i = \cos\varphi x_i + \sin\varphi x_j\]

\[y_j = -\sin\varphi x_i + \cos\varphi x_j\]

{注}: 若 $\sqrt[]{x_i^2+x_j^2 }\neq 0$, 可定义

则有 $y_i=\sqrt[]{x_i^2 + x_j^2}, y_j = 0$, 显然可以经过有限次Givens变换 $T$使得 $Tx=\|x\|e_1$.

2.5.3 Definition: Householder矩阵

设\(w \in \mathbb{C}^n\)是单位向量，定义矩阵

\[H(w) = I - 2ww^H\]

称为Householder矩阵（或初等反射矩阵）。

{注}:
对于二维平面, 设 $w$ 为单位向量, 如下图所示.
有 $x+2p = y$, $x + p = Proj_{W^\perp }x = x - (x,w)w$
则有 $y = x - 2ww^Hx = H(x)w$

2.5.3 Proposition: Householder矩阵的性质

Householder矩阵\(H(w)\)具有以下性质：
\((1) |H(w)| = -1\).
(2) \((H(w))^H = H(w) = (H(w))^{-1}\)；
(3) 设 \(x, y \in \mathbb{C}^n\) 且 \(x \neq y\)，则存在单位向量 \(w\) 使得 \(H(w)x = y\) 的充分必要条件是：

\[x^H x = y^H y, \quad x^H y = y^H x\]

并且若上述条件成立，则使 \(H(w)x = y\) 成立的单位向量 \(w\) 可取为：

\[w = \frac{e^{i\theta}}{\|x-y\|}(x-y)\]

其中 \(\theta\) 为任一实数。

2.5.3 Example: 实方阵Givens三角化

给定实方阵 $A$, 是否存在有限个Givens矩阵或Householder矩阵的乘积, 记为 $T$, 使得 $TA$ 变成如下形式：

$$U = \left[\begin{array}{cccc} \lambda_1 & * & \cdots & * \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \cdots & \ddots & * \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{array}\right]$$

其中, *为任意实数，$\lambda_1, \cdots, \lambda_n$是$n$个实数.